Hoy me apetece contar una tonteriica que me rondaba la cabeza desde hace algunos años y no ha sido hasta hace un par de semanas que vi la solución con la ayuda de un foro de ciencia y matemáticas. Algunos pensarán que es como descubrir el agua tibia, pero a mi me ha hecho ilusión comprenderlo.

(ahora toca cara apretada de Hiro viajando en el tiempo)

Hace ya unos cuantos añicos, antes de ir a clase me pasaba por casa de malglam para recogerla e irnos juntos para la facultad. Cogía la línea 11 desde el Zaidín que dejaba un poco antes de la Caleta. Entonces empezaba la ascensión hasta la plaza de toros subiendo por Doctor Olóriz y luego girando a la izquierda hasta casi llegar a Beiro. Más o menos como pinto en el mapa:

La caminata no era larga ni mucho menos. Sin embargo, algo que haces más de 3 veces seguidas pide a voces ser optimizado. Lo más natural dado el trazado de las calles es intentar buscar la diagonal para ahorrar unos cuantos metros. Pero claro, a no ser que te vaya el parkour hay que ceñirse al trazado de las calles. El recorrido puede verse como 2 aristas de un cuadrado de lado L. En vez de recorrer esa distancia (2*L) se me ocurrió lo que a todo hijo de vecino: callejear algo más para intentar aproximarme a la diagonal, cuya longitud seria sqrt(L²+L²).

Al segundo o tercer día de seguir el nuevo trazado me di cuenta de lo obvio (yo es que muy avispao tampoco soy). Teníamos entonces 4 segmentos de recta, cada uno de ellos de longitud L/2, que sumándolos nos sigue dando 2*L. Joder. No le había recortado nada al trayecto. Pero lo peor no es eso. La cuestión es que aunque siguiera subdividiendo tramos para aproximar aún más el trazado al de la diagonal en realidad seguía andando los mismos metros. En cada división por la mitad de la longitud de los tramos se duplica su número, así que nos quedamos en las mismas. Incluso da igual que los tramos sean de longitudes distintas, ya que al ser ángulos de 90º la distancia final será la misma.

La cuestión que me tenía perplejo hasta hace poco es que podemos elegir un número arbitrariamente alto de subdivisiones (infinito si queremos), tantos como para que aparentemente tengamos una diagonal y aun así estaríamos andando una distancia de 2*L. ¿Cómo puede ser que teniendo una curva tan próxima a la diagonal nunca se consiga aproximarla? Curiosamente, antes de conocer la solución, me sugería un fractal, como la curva de Koch. Pero no, no van por ahi los tiros.

La respuesta es tan sencilla que me da vergüenza no haberla visto yo solico. La escalera que vamos dibujando con los tramos de recta forma una aproximación imperfecta de la diagonal, con un error de aproximación constante siempre igual a 2*L - sqrt(L²+L²) por muchas divisiones que hagamos. Aunque visualmente las dos curvas se parecen mucho, analíticamente no tienen nada que ver. Misterio resuelto. Más que una paradoja era un problema mal planteado. Cienmil millones de veces mejor explicado en los foros de 100cia.

¿Aplicaciones? Lo que podemos sacar de esto es que si tenemos que realizar un trayecto similar al que he expuesto arriba (calles formando una rejilla) y las calles son más bien estrechas, realmente no merece la pena callejear por el mero hecho de recortar. La longitud recorrida es igual e incluso puede ser que tardemos más al tener que dar más giros y cruzar más veces la calle. Vamos, lo que viene siendo una perogrullada.

Corolario de la perogrullada: Si las calles son anchas o hay parques cambian un poco las tornas dado que cruzando podemos aproximar mucho más la diagonal y el resultado final es que sí que podríamos ganar algo de tiempo.

Esto por supuesto hay que tomárselo con una pizca de sal :)

PD: los esquemas los he creado en Google Maps y luego los he integrado en la página con una utilidad para poner MyMaps en un blog.